Với một biến đổi rất nhỏ của trạng thái của hệ, ta viết được:

d U = δ Q − δ A ( b ) {\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta A\quad (b)}

Khi hệ biến đổi từ trạng thái (1) đến trạng thái (2), thay cho đẳng thức (a) ta có:

∫ 1 2 d U = ∫ 1 2 δ Q − ∫ 1 2 δ A {\displaystyle \int _{1}^{2}\mathrm {d} U=\int _{1}^{2}\delta Q-\int _{1}^{2}\delta A}

Vì U {\displaystyle U} là một loại năng lượng nên giá trị của nó không phụ thuộc vào cách đạt tới 2 trạng thái nên ∫ 1 2 d U = U 2 − U 1 {\displaystyle \int _{1}^{2}\mathrm {d} U=U_{2}-U_{1}} không phụ thuộc vào dạng đường đi của quá trình. Vì vậy xét về mặt tính toán giải tích d U {\displaystyle \mathrm {d} U} là vi phân toàn phần.

Ngược lại ∫ 1 2 δ Q {\displaystyle \int _{1}^{2}\delta Q} và ∫ 1 2 δ A {\displaystyle \int _{1}^{2}\delta A} có thể có những giá trị khác nhau các quá trình được thực hiện để làm biến đổi trạng thái từ (1) đến (2). Vì vậy δ Q {\displaystyle \delta Q} và δ A {\displaystyle \delta A} không phải là những vi phân toàn phần. Có nghĩa là ta không thể viết ∫ 1 2 δ Q = Q 2 − Q 1 {\displaystyle \int _{1}^{2}\delta Q=Q_{2}-Q_{1}} hay ∫ 1 2 δ A = A 2 − A 1 {\displaystyle \int _{1}^{2}\delta A=A_{2}-A_{1}} VÌ không phải ở mỗi trạng thái có một nhiệt lượng hay công cơ học xác định.

Từ định nghĩa của entropi, ta có thêm một biểu thức cho một sự biến đổi thuận nghịch:

d U = T d S + δ A {\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+\delta A}

Với T {\displaystyle T} là nhiệt độ của hệ, d S {\displaystyle \mathrm {d} S} là lượng vi phân entropi